La Simple Aprehensión

• ¿Qué se entiende por aprehensión?

Es el acto por el cual la inteligencia toma posesión o concibe algo, sin afirmar ni negar nada de ese algo.

• ¿La simple aprehensión tiene dos instancias? ¿Cuáles son?
  

Se trata de la primera operación de nuestro espíritu dirigida al conocimiento. En última instancia consiste en la "concepción", o sea en la captación de conceptos o ideas.

• ¿Cómo se divide la simple aprehensión según la lógica tradicional?
  

La simple aprehensión o a concepción es, como dijimos, la primera operación: de la inteligencia; la segunda operación: es el juicio; y la tercera operación: es el razonamiento.

Doctrina Psicológica del Concepto

La forma fundamental del lenguaje es la proposición, es decir, una síntesis de un sujeto gramatical con un predicado gramatical.

• ¿Cuál es la forma típica del pensamiento?
  

La forma típica del pensamiento es el juicio, que es la síntesis de dos ideas o conceptos, de los cuales uno es el concepto-sujeto y el otro es el concepto-predicado.

• ¿Qué es el concepto?
  

Es la reunión de los caracteres esenciales de un grupo de representaciones.

La Lógica del Concepto

Separando o aislando los caracteres esenciales, nos muestra la naturaleza abstracta del concepto.

• ¿A qué se refiere la distinción entre lo concreto y lo abstracto?
  

La distinción que se hace corrientemente entre lo concreto y lo abstracto no se refiere a los conceptos mismos, sino a los objetos a que se hacen referencia.

Naturaleza y Función del Concepto

El concepto es, por su naturaleza, abstracto, puesto que está constituido por las señales o notas esenciales abstractas de una pluridad de representaciones.

• ¿Cuáles son los caracteres que se deben distinguir en los conceptos?
  

1. Hay caracteres indispensables, esenciales, necesarios, sin los cuales no podemos pensar el concepto.

2. Los caracteres accidentales que pueden existir, pero que no son necesarios para que tengamos el concepto.

Caracteres de los Conceptos

1. El ordenamiento, o sea la relacionabilidad, es el primer carácter: se refiere a que un objeto no puede tener más de un concepto, en cambio la imagen que éste nos proporciona puede estar encadenada a una serie de conceptos.

2. La universalidad, que puede tener doble significado: este concepto vale para todos los objetos a que hace referencia.

1. De acuerdo a su identidad.

2. Según su oposición.

1. Según su dependencia.

• ¿Cómo se divide de acuerdo a su identidad?
  

1. Conceptos idénticos: son aquellos que tiene notas constitutivas.

2. Conceptos dispares: son contradictores a los idénticos.

3. Conceptos heterogéneos: no pueden parangonarse entre sí, porque el conocimiento del uno resulta inútil para el otro.

• ¿Cómo se dividen según su oposición?
  

1. Contradictorios: cuando uno de los conceptos es la negación pura y simple del otro.

2. Contrarios: si uno de ellos no sólo expresa la exclusión del otro, sino que indica, además, una cualidad positiva diversa de la del otro.

• ¿Cómo se divide según su dependencia?
  

1. Subordinados: son aquellos que están contenidos en otros que los abarcan.

2. Coordinados: aquellos que dependen en igual grado de un concepto común al cual están subordinados.

Se entiende por extensión de un concepto el número más o menos considerable de los objetos o individuos a los cuáles puede referirse dicho concepto.

• ¿Qué es la comprensión?
  

Es el número más o menos grande de caracteres que contienen el concepto, número que puede variar de un concepto a otro.

Conceptos particulares y Universales.

Los conceptos individuales convienen a un solo objeto o ser, indivisible en nuevas clase, pero esto no significa que el concepto haya perdido su universalidad.

• ¿Qué es un concepto colectivo?
  

Son aquellos cuyo objeto está constituido por la reunión de varios objetos tomados como uno solo.

La División Lógica y la Definición como Desarrollo del Concepto

La división lógica se propone, pues, determinar la extensión de un concepto. Consiste en fijar de un modo completo las especies que se hayan contenidas dentro de un concepto, considerado éste como un concepto genérico.

La Expresión del Concepto: Los Términos

Es un conjunto de sonidos, o de signos visuales, que carecen de valor por sí mismos, pero sirven de soporte al pensamiento, o bien para transmitir el pensamiento cuando hablamos con los demás.

• ¿Cuál es la importancia de los términos en lógica?
  

Lo que importa en lógica es el pensamiento expresado y formulado mediante palabras, es decir, por términos. Sin embargo, término no es sinónimo de "palabra", porque un término puede constar de una o varias palabras.

Categorías

La palabra categoría significa "forma de enunciación", procede de Aristóteles, que fue el primero en dar una clasificación de dichos conceptos universales, agrupándolos en 10 órdenes.

• ¿Cuáles son las 10 categorías de Aristóteles?
  

1. De sustancia; ejemplo: casa, hombre.

2. De cantidad; ejemplo: de 3, 4 metros.

3. De calidad; ejemplo: blanco, bueno.

4. De relación; ejemplo triple, mayor.

5. De lugar; ejemplo: en la calle.

6. De tiempo; ejemplo: ayer, el año pasado.

7. De posición; ejemplo: acostado, parado.

8. De estado; ejemplo: está armado, está enfermo.

9. De acción; ejemplo: come, corta.

10. De presión; ejemplo: se ha cortado, se ha quemado.

Capitulo V

Se presentan siempre en una conexión determinada en una síntesis que les presta unidad. Esta unidad del pensamiento es, su forma mas sencilla, es el juicio.

• ¿Qué es lo que nos importa del Juicio?
  

Su formación y su constitución.

• ¿Qué ocasionan los procesos sensoriales?
  

Fenómenos conscomitentes de la conciencia.

• ¿Qué es el significado?
  

Son ideas que acompañan a otras ideas.

• ¿Cuáles son las partes nobles del lenguaje?
  

Las preposiciones, las conjugaciones, los adverbios, etc., estos establecen las mas finas relaciones entre las ideas.

Teoría Analítica del Juicio

El sujeto.

El predicado.

• ¿Qué es la teoría analítica del juicio?
  

Es cuando percibimos las ideas y luego por un proceso de análisis separamos los elementos y los aislamos artificialmente.

Lógica del Juicio. Estructura del Juicio

Es un discurso en el cual se afirma o se niega algo de algo.

• ¿Cuáles son los juicios abreviados?
  

Son los que constan de un solo vocablo.

• ¿Cómo podrán ser los conceptos aislados?
  

Posibles o imposibles.

Reales o irreales.

• ¿Son características del juicio?
  

La verdad y la falsedad.

• ¿Clases de predicado?
  

Primera clase: estos enuncia algo del sujeto, como una cualidad inherente al sujeto, como una característica interna suya.

Segunda calase: es aquélla en que el predicado indica alguna relación con el sujeto de manera que los dos miembros pueden considerarse como independientes o distintos.

Naturaleza de la relación en el Juicio

Que esta subordinado al concepto del predicado como la especie esta comprendida dentro de la extensión del genero. A esta calase de subordinación Aristóteles la llama sub sunción.

• ¿Cuál es la teoría de la identidad de la extensión?
  

Es cuando la extensión del sujeto es idéntica a la del predicado.

El Juicio y su contenido Objetivo

Todo juicio determinado hace referencia a algo que no es el juicio mismo. Ese algo que esta como enfrentado al juicio es su contenido objetivo.

• ¿Cómo es el contenido objetivo?
  

Es trascendente.

Clasificación de los Juicios

a) De acuerdo con la cualidad:

Afirmativos: son aquellos juicios en que el predicado expresa una señal del sujeto, es decir, cuando el predicado forma parte de la comprensión del sujeto.

Negativos: son aquellos en que el predicado no convienen al sujeto, estos son juicios limitados.

Infinitos: son aquellos juicios donde la señal expresada por el predicado convienen o no al sujeto.

b) De acuerdo a su cantidad: estos pueden ser universales, particulares e individuales.

c) Por su relación:

Categóricos: son aquellos en que la afirmación es absoluta, puesto que no depende de ninguna condición.

Disyuntivos: son aquellos juicios cuyo sujeto lógico puede ser determinado de muchas maneras.

Hipotéticos: son juicios en que la relación que establece el enlace entre el sujeto y el predicado esta subordinado a otra relación que es una condición.

d) De acuerdo a su modalidad:

Problemáticos: son aquellos en que la relación entre el sujeto y el predicado se expresa como posible.

Asertorios: son juicios donde la relación entre el sujeto y el predicado implica una realidad.

Apodícticos: son aquellos en que la relación entre el sujeto y el predicado expresa una necesidad.

• ¿Cuáles son los juicios compuestos?
  

Copulativos: tienen un sujeto compuesto, siendo simple su predicado que es aplicable a todos los sujetos.

Conjuntivos: son los que tienen un predicado compuesto.

Divisivos: se caracterizan por tener al sujeto formado de partes sueltas.
Juicios Analíticos y Sintácticos

Cuando el concepto del predicado se halla contenido en el concepto del sujeto.

• ¿Cuándo un juicio es Sintáctico?
  

Cuando el predicado no surge necesariamente del análisis del sujeto.

• ¿Cómo son los juicios analíticos?
  

Son absolutamente seguros, universales y necesarios.

• ¿Cómo son los juicios Sintéticos?
  

Son empíricos y derivan de la experiencia.

Juicios de Experiencia, Juicios de Razonamiento

Son a posteriori y derivan de la observación, ya sea interna o externa.

• ¿Qué son juicios de existencia?
  

Son juicios de hechos. Se trata de comprobaciones en las cuales el predicado expresa la idea de existencia.

• ¿Qué son juicios de valor?
  

Se distinguen por tener como carácter esencial la apreciación de las cosas, su estimación, su valor.

• ¿Cómo se pueden clasificar los valores?
  

Estéticos.

Morales.

Religiosos.

Sociales, etc.

1. reflexividad.
2.. Simetría
3.. Transitividad.
Axioma 2. Axioma de extensión.
Si A , B son conjuntos: .

Observaciones.

1. En general, designaremos los conjuntos por letras latinas mayúsculas, y los elementos por letras latinas minúsculas.
2. Intuitivamente, el Axioma de extensión establece que dos conjuntos son iguales, si y solamente si tienen los mismos elementos.

5.2 Partes de un conjunto

Definición.
Sean A , B conjuntos. Designamos por la fórmula:
esto es:

.

Esta fórmula también se lee así:

A es un subconjunto de B
A está incluido en B
A es una parte de B

El símbolo “ ” se denomina símbolo de la inclusión.

La fórmula designada por la denominamos “ relación de inclusión entre A y B ”.

Representación gráfica mediante diagramas de Venn (figura 1).

____Figura 1 ___________________Figura 2

Observaciones.
1. Por la estructura lógica que presenta la fórmula anterior, para demostrar que una fórmula específica del tipo es verdadera procedemos, en general, así:

1. Supongamos: . Hipótesis auxiliar
.____________________
.____________________
.____________________
.____________________
n)
n+1) . Método directo
n+2) . G.U.
n+3) . Definición de inclusión en (n+2)

2. De la definición anterior podemos concluir también que que notaremos también como . Para probarlo, basta exhibir un elemento de A que no es elemento de B . Figura 2.

Teorema 1. Primeras propiedades de la inclusión.
1.
2.
3.
Demostración de 1.
1. . R.A.2
2. . R.A.1
3. . Transitividad en la implicación de 1 y 2. (*)
4. . G.U. en 3.
5. . Definición inclusión en 4.

Nota.
Obsérvese que la propiedad demostrada tiene como fundamento estructural el teorema que podemos presentar también como y se designa con el nombre de “ el tercero excluido ”.

Demostración de 2.
1. Supongamos: . Hipótesis 1.
2. ____________. Simplificación en 1.
3.____________ Simplificación en 1.
4. ____________. Def. De y P.U. en 2.
5. ____________. Def. De y P.U. en 3.
6. ____________. Transitividad de 5) y 6).
7. ____________. G.U. en 6.
8. ____________Def. De inclusión en 7.
9. ____________Método directo.

Demostración de 3.
. Axioma de extensión.
. Def. de equivalencia.
. Teorema. Distributividad del cuantificador universal.
. Definición de inclusión.

Observaciones.
1. La demostración de la propiedad 3 nos permite mostrar un esquema muy común, cuando se trata de algunas equivalencias, que permiten sin romper la equivalencia, proceder por sustitución sucesiva de expresiones equivalentes apoyados en la R.V.3.

2. Intuitivamente la propiedad 3 establece que dos conjuntos son iguales si y solamente si están mutuamente incluidos.

5.3 Axioma de selección separación (Zermmelo-Fraenkel)

Reseña histórica.
George Cantor (1845 - 1918) creador del edificio maravilloso de la teoría de Conjuntos, que permitía prácticamente expresar cualquier rama de la matemática en términos de este lenguaje unificador y perfecto, estableció como uno de sus principios para la determinación de conjuntos el siguiente:

“Dada cualquier propiedad P , siempre es posible definir un conjunto”.

Bertrand Russell (1872 - 1972) mostró que este principio para determinar conjuntos era paradójico y en consecuencia, que la estructura propuesta por Cantor, padecía en su base de una contradicción que causaba su desplome. Esta situación conllevó a la conocida crisis de los fundamentos de la matemática que por mucho tiempo dejó un vacío completo, después de un logro tan grande.
Veamos con detalle la propiedad planteada por Russell.
Sea y definamos el conjunto caracterizado por dicha propiedad (conjunto de Russell) como:

ó

Admitiendo, como lo veremos a continuación, que dado ; entonces:

i)
ii)
se tiene para el conjunto de Russell:
i)
ii)
que, como podemos observar conduce a una paradoja.
Una de las salidas a la crisis anterior, la proporcionaron Zermmelo y Fraenkel a través del Axioma de Selección o de Separación; en el cual se parte siempre de un conjunto preexistente, del cual se pueden seleccionar nuevas subcolecciones.
Axioma 3. (Axioma de Selección o Separación).
Sean: T un conjunto, una fórmula.
Para todo conjunto T existe un subconjunto A y solo uno formado por todos los elementos de T que verifican la propiedad .

Esto es:
Notación.
El conjunto A descrito por el Axioma 3 lo notamos: ó que se lee: “ A es el conjunto formado por todos los elementos x , tales que y x verifica la propiedad P ”. Esta notación la designamos notación por comprensión.
Observaciones.
1. Al describir el conjunto A en la forma anterior, la fórmula la denominamos la propiedad característica o definitoria del conjunto A .

2. En esta forma A está constituido únicamente por todos aquellos objetos que verifican la propiedad característica.

3. Intuitivamente podemos interpretar el significado de este axioma así: Dado un conjunto T , podemos obtener nuevos conjuntos (subconjuntos de T ), tomando diferentes propiedades y seleccionando de los elementos de T , aquellos que las verifiquen.
Así, dados: T conjunto, : fórmulas.

Figura 3

luego


¿Qué ocurre si todos los elementos de T verifican a ?
¿Qué ocurre si ningún elemento de T verifica a ?

Ilustración 1.

Sean: Z : Conjunto de los números enteros

Definimos: Conjunto de números pares
__________Conjunto de números impares
__________Conjunto de múltiplos de 5.

Figura 4
5.4 Definición. Complemento de un conjunto
Sean: X , M conjuntos, .
Definimos mediante el Axioma 3, un conjunto con la propiedad: dicho conjunto lo llamaremos “ Complemento del conjunto M respecto al conjunto X ” y lo notamos .
Esto es: .
Consecuencias

i)
ii)

Representación gráfica.

Figura 5

Teorema 2. Primeras propiedades del complemento.
Sean: M , N , X conjuntos

1. Si entonces .
2. Sean: , . si y sólo si .

Nota.
En adelante simplificaremos la redacción de las demostraciones, asumiendo la comprensión que a este nivel debe tenerse sobre el lenguaje empleado, pero manteniendo desde luego el rigor, la coherencia.

Demostración de 1:
Supongamos: (Hip. aux.. 1)

Supongamos Hip. aux. 2
en consecuencia Def. Complemento
esto es: Consec. Def. complem.
Por tanto
Conclusión: (1)

Supongamos: Hip. aux. 2

__________________De la hipótesis 1.
__________________Luego es verdadera, como también
__________________, esta última equivale a:
__________________; por tanto
__________________es verdadera, que a su vez equivale a
Conclusión: (2)
. Conjunción de (1) y (2).

Por tanto: Si entonces .

Ejercicio. Demostrar el numeral 2.

5.5 Definición. Conjunto vacío
Sea: X un conjunto.
Definimos mediante el Axioma 3, un conjunto con la propiedad: , dicho conjunto lo llamaremos “ Conjunto vacío ” y lo notamos por la letra griega (fi).
Esto es:
Consecuencias:
1.
2.

Observaciones.
1. El conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos, puesto que su propiedad característica corresponde a una contradicción, la cual no es satisfecha por ningún objeto.
2. La fórmula de la derecha, en la equivalencia ii) es el teorema del medio excluido, lo que permite establecer formalmente como teorema que ningún elemento pertenece al conjunto f .

Teorema 3. Propiedades del conjunto vacío.
1. .
2. Si X es un conjunto entonces .
3. Si X es un conjunto entonces .
4. Si A es un conjunto entonces

Demostración de 2.
1. Sea X un conjunto. Hipótesis general
2. Teorema 3.1. P.U.
3. Adjunción en 2.
4. Def. de implicación en 3.
5. G.U. en 4.
6. Def. de inclusión en 5.
7. Si X es un conjunto, entonces . Método directo.

Observaciones.
1. Este resultado se expresa diciendo que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
2. El numeral 4 establece que, para demostrar que un conjunto dado no es el conjunto vacío, basta probar que tiene al menos un elemento.
Ejercicio. Demostrar los numerales: 1, 3 y 4.

5.6 Conjuntos finitos. Notación por extensión.
Intuitivamente, diremos que un conjunto es finito si el número de sus elementos se puede expresar como n , siendo n el cero o un número natural. En caso contrario diremos que el conjunto es infinito. (En la última sección de este capítulo precisaremos este concepto).
Como consecuencia de esta noción podemos afirmar que el conjunto es finito.

Definición. Conjunto Unitario.
Al conjunto cuyo único elemento es x , lo notamos { x } y se denomina conjunto unitario.
Consecuencias.
i)
ii)

Definición. Conjunto binario.
Al conjunto cuyos únicos elementos son x , y lo notamos { x , y } y se denomina conjunto binario. Este conjunto lo podemos notar también por comprensión así:

Consecuencias.
i)
ii)

En forma análoga podemos construir conjuntos de tres, cuatro, etc. y cualquier número finito de elementos.

Teorema 4.
1.
2.
3.
Demostración de 2.
1. Consecuencia def conjunto binario.
2. ____________ Equivalencia en la disyunción
3. ____________ Consecuencia def conjunto unitario
4. transitividad en la equivalencia.
5. G.U. de (4)
6. . Axioma 2 (Extensión)
7. ____________R.V.3 de 5) y 6).

Observaciones.
1. El numeral 2 establece el principio de que en un conjunto, los elementos que se repiten, se consideran solamente una vez.
2. El numeral 3 establece una relación fundamental para distinguir e integrar en sus contextos respectivos las relaciones de pertenencia e inclusión.
3. Una notación por extensión para el conjunto vacío corresponde a:

Ejercicio. Demostrar los numerales 1 y 3.

5.7 Conjunto de partes de un conjunto
Axioma 4.
Si A es un conjunto entonces existe un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A Este conjunto se denomina “ Conjunto de partes de A ” y lo notamos P ( A ).
Este conjunto lo notamos por comprensión así:

Consecuencias:
i)
ii)
Teorema 5.
Sean A , B conjuntos, entonces:

1.
2.
3.
4. si y solo si

Demostración de 4.
Probemos la implicación de izquierda a derecha.
Supongamos: Hipótesis 1

Supongamos: Hipótesis 2
es equivalente a . Consecuencia def. cjto. de partes y de la hip. 1 por transitividad (T1) se tiene que , que equivale a .
Método directo
. G.U. y definición de inclusión.

Método directo.

Ejercicio. Demostrar la implicación recíproca y los numerales 1, 2 y 3.
Ilustración 2.
Dados los conjuntos: determinar los conjuntos

; además y
; además y
; además y
; además y

Podemos observar una ley de formación entre el número de elementos de un conjunto X y el número de elementos de P ( X ), la cual puede demostrarse por Inducción.

Si n ( X )= k entonces . Esta relación permite caracterizar también el conjunto P ( X ) con el nombre de conjunto potencia de X .

5.8 Ejercicios propuestos 5.2 a 5.7
1. Sea

Para cada una de las proposiciones siguientes indicar si es verdadera o falsa, justificando su afirmación.

1.1	1.6
1.2	1.7
1.3	1.8
1.4	1.9
1.5	1.10

2. Sean A , B , C los conjuntos: ; ; .

2.1 Es A = B ó B = C ó A = C ? Justifique su respuesta.

2.2 Para cada una de las proposiciones siguientes indicar si es verdadera o falsa, justificando su afirmación.

a.	e.	i.
b.	f.	j.
c.	g.	k.
d.	h.	l.

3. Sean: ; . Para cada una de las proposiciones siguientes, indicar si es verdadera o falsa, justificando su afirmación.

3.1	3.5	3.9
3.2 _	3.6	3.10
3.3	3.7	3.11
3.4	3.8	3.12

4. Dados los conjuntos siguientes:

A: Conjunto de rectas determinadas por tres puntos distintos y no colineales.
B : Conjunto de semirrectas determinadas por tres puntos distintos y colineales.
C: Conjunto de segmentos determinados por tres puntos distintos y colineales.
D: Conjunto de rectas en un plano que pasan por un punto dado.
E: Conjunto de rectas paralelas a una recta dada, por un punto exterior a esta.
F: Conjunto de rectas perpendiculares a una recta dada, levantadas por un punto de esta y en un mismo plano.
G: Conjunto de números naturales pares.

4.1 Qué puede afirmarse sobre el número de elementos de cada conjunto?

4.2 Para cada una de las proposiciones siguientes, indicar si es verdadera o falsa.

a.	c.	e.	g.
b.	d.	f.	h.

5. Sea ; colocar en los espacios uno de los símbolos: , que indique una relación adecuada entre los términos dados.

5.1 0____	5.5 ____A	5.9 0____ A
5.2 _____	5.6 ____A	5.10 ____A
5.3 ____A _	5.7 ____	5.11 ____
5.4 ____	5.8 ____	5.12 ____

6. Sean: A: El conjunto de números de dos cifras, tales que la primera cifra es mayor que la segunda.
________B: El conjunto de números de dos cifras, tales que la primera cifra es menor que la segunda.

6.1 Representar los conjuntos A y B por comprensión.

6.2 Si ; representar el conjunto C por extensión.

6.3 Colocar en los espacios uno de los símbolos: , que indique una relación adecuada entre los términos dados.

a. 35 ____ A	d. ____ B	g. 12 ____ A 12 ____ B
b. 28____ B	e. ____ A	h. 22 ____ C 22 ____ B
c. ____ A	f. 72 ____ A 72 ____ B	i. ____ A ____ C

7. Dados los conjuntos siguientes:

A: Conjunto de números de cuatro cifras donde al menos dos de ellas son ceros .
B: Conjunto de números de cuatro cifras donde al menos una de ellas es cero .
C: Conjunto de números de cuatro cifras donde a lo sumo dos de ellas son ceros .
D: Conjunto de números de cuatro cifras donde dos son ceros y las otras dos son diferentes de cero .

Indicar todas las posibles relaciones de inclusión entre los conjuntos anotados.

8. Indicar cuáles de las siguientes implicaciones son verdaderas, justificando su respuesta.

8.1
8.2
8.3

9. Considérese un conjunto U referencial como el conjunto de todos los triángulos; si I designa el conjunto de los triángulos isósceles, E de los equiláteros, A de los equiángulos, R de los triángulos rectángulos; representar en un diagrama de Venn los conjuntos anteriores.
10. Dadas las relaciones: , , , representar todos los posibles diagramas de Venn que cumplan las relaciones establecidas.
11. Dado el siguiente diagrama de Venn, construya el diagrama de inclusión correspondiente.

12. Dados:

Demostrar que A = B .

Sugerencia: Pruebe independientemente la mutua inclusión y tenga en cuenta que el producto de dos números naturales consecutivos es un número impar y que la diferencia entre un número par y un número impar es un número impar.

5.9 Unión de conjuntos
Axioma 5.
Si A , B son conjuntos, existe un conjunto que los contiene. Dicho conjunto tiene como propiedad característica .
Definición. Conjunto unión de dos conjuntos.
Si A , B son conjuntos, al conjunto cuyos elementos verifican la propiedad , lo denominamos “ conjunto unión de A y B ” y lo notamos

Este conjunto lo notamos por comprensión así:

Consecuencias.
i)
ii)
Representación gráfica

Figura 6 _________________________Figura 7

Teorema 6. Propiedades de la Unión.
Sean: A , B , C , D , X conjuntos, entonces:

1. ; .
2. . Conmutativa.
3. . Asociativa.
4.
5.
6. Si y entonces .
7. Si y entonces .

Demostración de 1.
1. . Axioma
2. consecuencia definición de unión.
3. G.U. y definición de inclusión.

Demostración de 5.
“ ” Veamos que .

Supongamos: Hipótesis 1.

Esto es , pero es teorema, por tanto
Luego (1)

“ ” Veamos que . Teorema 6.1.
Conclusión: .

Ejercicio. Demostrar los numerales 2, 3, 4, 6 y 7.

5.10 Intersección de Conjuntos.
Definición.
Sean A , B conjuntos, el Axioma 3 nos permite definir un conjunto con la propiedad , dicho conjunto lo denominamos “ conjunto intersección de A y B ” y lo notamos .
Este conjunto lo notamos por comprensión así:

Consecuencias.
i)
ii)

Representación gráfica

Figura 8 __________________________Figura 9

Definición.
Si pero decimos que A y B son conjuntos disjuntos.

Teorema 7. Propiedades de la Intersección.
Sean: A , B , C , D , X conjuntos, entonces:

1. ,
2. .
3.
4.
5.
6. Si y entonces
7. Si y entonces

Demostración de 1.
Supongamos: Hipótesis

Consecuencia def. de intersección
. Simplificación.

Método directo
G.U. y definición de inclusión.

Demostración de 3.
Consecuencia def. de intersección

Consecuencia def. de intersección
Equivalencia Asociatividad en “ ”
Consecuencia def. de intersección
Consecuencia def. de intersección

G.U. Axioma de Extensión

Ejercicio. Demostrar los numerales 2, 4, 5, 6 y 7.

Teorema 8. Leyes distributivas.
Sean: A , B , C conjuntos, entonces:

1.
2. .

Demostración de 1.
Consecuencia def. Inters. de cjtos.

Consecuencia def. de unión de conj.
Equivalencia Ley Distributiva
Consecuencia def. de intersección
Consecuencia def. de unión

G.U. Axioma de Extensión

Corolario.
Sean: A , B conjuntos, entonces:

1.
2. .

Ejercicio. Demostrar el numeral 2 del teorema 8 y el corolario.

Teorema 9. Leyes de D´Morgan.
Sean: A , B , X , conjuntos tales que entonces:

1.
2. .

Demostración de 2.
Consecuencia def. de complemento

Consecuencia definición de intersección
Equivalencia Ley Distributiva
Consecuencia definición de complemento
Consecuencia def. de unión