.1 IntroducciónParece claro, y en la mayoría de los textos que tratan en forma elemental la teoría de conjuntos se afirma de una manera categórica, que la noción de conjunto es una noción que se tiene, intuitivamente, clara. Es decir, todo el mundo comprende lo que significa “un conjunto de personas”, “un conjunto de números”, etc. Sin embargo al introducirnos en la teoría matemática de conjuntos debemos prescindir de lo que intuitivamente se presenta claro y adentrarnos en un mundo de gran rigor, donde todo lo que se utilice haya sido previamente establecido: o bien como proposiciones primitivas, o como términos y relaciones primitivas o como términos y relaciones definidas; y signifique sólo lo que se convenga que signifique. En otros términos: la matemática es una construcción del hombre, y, por tanto, debe elegir los elementos de construcción y las normas de construcción. Las normas ya las hemos fundamentado en la lógica proposicional y cuantificacional, en consecuencia tenemos completas las herramientas y preciso el camino a seguir.
Así pues, debemos distinguir entre lo que intuitivamente se entiende por conjunto y lo que matemáticamente debe entenderse por conjunto (a pesar de que los conjuntos intuitivos pueden ser útiles en tanto que soporte metodológico para comprender mejor las definiciones matemáticas).
Observaremos en el desarrollo de este tema, como la “forma de construir conjuntos” que en muchas ocasiones hemos leido en los textos y que posiblemente parecería muy natural, consistente en que: “dada una propiedad cualquiera, siempre es posible determinar el conjunto formado por todos los objetos que la satisfacen”, es en sí paradójica.
Ello nos obliga por lo tanto a continuar con la construcción de una teoría axiomática para los conjuntos y explica la opción que hemos adoptado para su estudio.
5.1.1 Términos Primitivos
Los términos conjunto y elemento , los consideramos como primitivos , esto es no definidos. En particular, la fórmula , la leeremos “ x es un elemento del conjunto A ”. Su negación la indicaremos también como y se lee x no es un elemento del conjunto A.
5.1.2 Axioma 1. Algunas propiedades de la igualdad

1. reflexividad.
2.. Simetría
3.. Transitividad.
Axioma 2. Axioma de extensión.
Si A , B son conjuntos: .

Observaciones.

1. En general, designaremos los conjuntos por letras latinas mayúsculas, y los elementos por letras latinas minúsculas.
2. Intuitivamente, el Axioma de extensión establece que dos conjuntos son iguales, si y solamente si tienen los mismos elementos.

5.2 Partes de un conjunto

Definición.
Sean A , B conjuntos. Designamos por la fórmula:
esto es:

.

Esta fórmula también se lee así:

A es un subconjunto de B
A está incluido en B
A es una parte de B

El símbolo “ ” se denomina símbolo de la inclusión.

La fórmula designada por la denominamos “ relación de inclusión entre A y B ”.

Representación gráfica mediante diagramas de Venn (figura 1).

____Figura 1 ___________________Figura 2


Observaciones.
1. Por la estructura lógica que presenta la fórmula anterior, para demostrar que una fórmula específica del tipo es verdadera procedemos, en general, así:

1. Supongamos: . Hipótesis auxiliar
.____________________
.____________________
.____________________
.____________________
n)
n+1) . Método directo
n+2) . G.U.
n+3) . Definición de inclusión en (n+2)

2. De la definición anterior podemos concluir también que que notaremos también como . Para probarlo, basta exhibir un elemento de A que no es elemento de B . Figura 2.

Teorema 1. Primeras propiedades de la inclusión.
1.
2.
3.
Demostración de 1.
1. . R.A.2
2. . R.A.1
3. . Transitividad en la implicación de 1 y 2. (*)
4. . G.U. en 3.
5. . Definición inclusión en 4.

Nota.
Obsérvese que la propiedad demostrada tiene como fundamento estructural el teorema que podemos presentar también como y se designa con el nombre de “ el tercero excluido ”.

Demostración de 2.
1. Supongamos: . Hipótesis 1.
2. ____________. Simplificación en 1.
3.____________ Simplificación en 1.
4. ____________. Def. De y P.U. en 2.
5. ____________. Def. De y P.U. en 3.
6. ____________. Transitividad de 5) y 6).
7. ____________. G.U. en 6.
8. ____________Def. De inclusión en 7.
9. ____________Método directo.

Demostración de 3.
. Axioma de extensión.
. Def. de equivalencia.
. Teorema. Distributividad del cuantificador universal.
. Definición de inclusión.

Observaciones.
1. La demostración de la propiedad 3 nos permite mostrar un esquema muy común, cuando se trata de algunas equivalencias, que permiten sin romper la equivalencia, proceder por sustitución sucesiva de expresiones equivalentes apoyados en la R.V.3.

2. Intuitivamente la propiedad 3 establece que dos conjuntos son iguales si y solamente si están mutuamente incluidos.

5.3 Axioma de selección separación (Zermmelo-Fraenkel)

Reseña histórica.
George Cantor (1845 - 1918) creador del edificio maravilloso de la teoría de Conjuntos, que permitía prácticamente expresar cualquier rama de la matemática en términos de este lenguaje unificador y perfecto, estableció como uno de sus principios para la determinación de conjuntos el siguiente:

“Dada cualquier propiedad P , siempre es posible definir un conjunto”.

Bertrand Russell (1872 - 1972) mostró que este principio para determinar conjuntos era paradójico y en consecuencia, que la estructura propuesta por Cantor, padecía en su base de una contradicción que causaba su desplome. Esta situación conllevó a la conocida crisis de los fundamentos de la matemática que por mucho tiempo dejó un vacío completo, después de un logro tan grande.
Veamos con detalle la propiedad planteada por Russell.
Sea y definamos el conjunto caracterizado por dicha propiedad (conjunto de Russell) como:

ó

Admitiendo, como lo veremos a continuación, que dado ; entonces:

i)
ii)
se tiene para el conjunto de Russell:
i)
ii)
que, como podemos observar conduce a una paradoja.
Una de las salidas a la crisis anterior, la proporcionaron Zermmelo y Fraenkel a través del Axioma de Selección o de Separación; en el cual se parte siempre de un conjunto preexistente, del cual se pueden seleccionar nuevas subcolecciones.
Axioma 3. (Axioma de Selección o Separación).
Sean: T un conjunto, una fórmula.
Para todo conjunto T existe un subconjunto A y solo uno formado por todos los elementos de T que verifican la propiedad .

Esto es:
Notación.
El conjunto A descrito por el Axioma 3 lo notamos: ó que se lee: “ A es el conjunto formado por todos los elementos x , tales que y x verifica la propiedad P ”. Esta notación la designamos notación por comprensión.
Observaciones.
1. Al describir el conjunto A en la forma anterior, la fórmula la denominamos la propiedad característica o definitoria del conjunto A .

2. En esta forma A está constituido únicamente por todos aquellos objetos que verifican la propiedad característica.

3. Intuitivamente podemos interpretar el significado de este axioma así: Dado un conjunto T , podemos obtener nuevos conjuntos (subconjuntos de T ), tomando diferentes propiedades y seleccionando de los elementos de T , aquellos que las verifiquen.
Así, dados: T conjunto, : fórmulas.

Figura 3

luego


¿Qué ocurre si todos los elementos de T verifican a ?
¿Qué ocurre si ningún elemento de T verifica a ?

Ilustración 1.

Sean: Z : Conjunto de los números enteros



Definimos: Conjunto de números pares
__________Conjunto de números impares
__________Conjunto de múltiplos de 5.

Figura 4
5.4 Definición. Complemento de un conjunto
Sean: X , M conjuntos, .
Definimos mediante el Axioma 3, un conjunto con la propiedad: dicho conjunto lo llamaremos “ Complemento del conjunto M respecto al conjunto X ” y lo notamos .
Esto es: .
Consecuencias

i)
ii)

Representación gráfica.

Figura 5

Teorema 2. Primeras propiedades del complemento.
Sean: M , N , X conjuntos

1. Si entonces .
2. Sean: , . si y sólo si .

Nota.
En adelante simplificaremos la redacción de las demostraciones, asumiendo la comprensión que a este nivel debe tenerse sobre el lenguaje empleado, pero manteniendo desde luego el rigor, la coherencia.

Demostración de 1:
Supongamos: (Hip. aux.. 1)

Supongamos Hip. aux. 2
en consecuencia Def. Complemento
esto es: Consec. Def. complem.
Por tanto
Conclusión: (1)

Supongamos: Hip. aux. 2

__________________De la hipótesis 1.
__________________Luego es verdadera, como también
__________________, esta última equivale a:
__________________; por tanto
__________________es verdadera, que a su vez equivale a
Conclusión: (2)
. Conjunción de (1) y (2).

Por tanto: Si entonces .

Ejercicio. Demostrar el numeral 2.

5.5 Definición. Conjunto vacío
Sea: X un conjunto.
Definimos mediante el Axioma 3, un conjunto con la propiedad: , dicho conjunto lo llamaremos “ Conjunto vacío ” y lo notamos por la letra griega (fi).
Esto es:
Consecuencias:
1.
2.

Observaciones.
1. El conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos, puesto que su propiedad característica corresponde a una contradicción, la cual no es satisfecha por ningún objeto.
2. La fórmula de la derecha, en la equivalencia ii) es el teorema del medio excluido, lo que permite establecer formalmente como teorema que ningún elemento pertenece al conjunto f .

Teorema 3. Propiedades del conjunto vacío.
1. .
2. Si X es un conjunto entonces .
3. Si X es un conjunto entonces .
4. Si A es un conjunto entonces

Demostración de 2.
1. Sea X un conjunto. Hipótesis general
2. Teorema 3.1. P.U.
3. Adjunción en 2.
4. Def. de implicación en 3.
5. G.U. en 4.
6. Def. de inclusión en 5.
7. Si X es un conjunto, entonces . Método directo.

Observaciones.
1. Este resultado se expresa diciendo que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
2. El numeral 4 establece que, para demostrar que un conjunto dado no es el conjunto vacío, basta probar que tiene al menos un elemento.
Ejercicio. Demostrar los numerales: 1, 3 y 4.

5.6 Conjuntos finitos. Notación por extensión.
Intuitivamente, diremos que un conjunto es finito si el número de sus elementos se puede expresar como n , siendo n el cero o un número natural. En caso contrario diremos que el conjunto es infinito. (En la última sección de este capítulo precisaremos este concepto).
Como consecuencia de esta noción podemos afirmar que el conjunto es finito.

Definición. Conjunto Unitario.
Al conjunto cuyo único elemento es x , lo notamos { x } y se denomina conjunto unitario.
Consecuencias.
i)
ii)

Definición. Conjunto binario.
Al conjunto cuyos únicos elementos son x , y lo notamos { x , y } y se denomina conjunto binario. Este conjunto lo podemos notar también por comprensión así:

Consecuencias.
i)
ii)

En forma análoga podemos construir conjuntos de tres, cuatro, etc. y cualquier número finito de elementos.

Teorema 4.
1.
2.
3.
Demostración de 2.
1. Consecuencia def conjunto binario.
2. ____________ Equivalencia en la disyunción
3. ____________ Consecuencia def conjunto unitario
4. transitividad en la equivalencia.
5. G.U. de (4)
6. . Axioma 2 (Extensión)
7. ____________R.V.3 de 5) y 6).

Observaciones.
1. El numeral 2 establece el principio de que en un conjunto, los elementos que se repiten, se consideran solamente una vez.
2. El numeral 3 establece una relación fundamental para distinguir e integrar en sus contextos respectivos las relaciones de pertenencia e inclusión.
3. Una notación por extensión para el conjunto vacío corresponde a:

Ejercicio. Demostrar los numerales 1 y 3.

5.7 Conjunto de partes de un conjunto
Axioma 4.
Si A es un conjunto entonces existe un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A Este conjunto se denomina “ Conjunto de partes de A ” y lo notamos P ( A ).
Este conjunto lo notamos por comprensión así:


Consecuencias:
i)
ii)
Teorema 5.
Sean A , B conjuntos, entonces:

1.
2.
3.
4. si y solo si

Demostración de 4.
Probemos la implicación de izquierda a derecha.
Supongamos: Hipótesis 1

Supongamos: Hipótesis 2
es equivalente a . Consecuencia def. cjto. de partes y de la hip. 1 por transitividad (T1) se tiene que , que equivale a .
Método directo
. G.U. y definición de inclusión.

Método directo.

Ejercicio. Demostrar la implicación recíproca y los numerales 1, 2 y 3.
Ilustración 2.
Dados los conjuntos: determinar los conjuntos

; además y
; además y
; además y
; además y

Podemos observar una ley de formación entre el número de elementos de un conjunto X y el número de elementos de P ( X ), la cual puede demostrarse por Inducción.

Si n ( X )= k entonces . Esta relación permite caracterizar también el conjunto P ( X ) con el nombre de conjunto potencia de X .

5.8 Ejercicios propuestos 5.2 a 5.7
1. Sea

Para cada una de las proposiciones siguientes indicar si es verdadera o falsa, justificando su afirmación.

1.1 1.6
1.2 1.7
1.3 1.8
1.4 1.9
1.5 1.10

2. Sean A , B , C los conjuntos: ; ; .

2.1 Es A = B ó B = C ó A = C ? Justifique su respuesta.

2.2 Para cada una de las proposiciones siguientes indicar si es verdadera o falsa, justificando su afirmación.

a. e. i.
b. f. j.
c. g. k.
d. h. l.

3. Sean: ; . Para cada una de las proposiciones siguientes, indicar si es verdadera o falsa, justificando su afirmación.

3.1 3.5 3.9
3.2 _ 3.6 3.10
3.3 3.7 3.11
3.4 3.8 3.12

4. Dados los conjuntos siguientes:

A: Conjunto de rectas determinadas por tres puntos distintos y no colineales.
B : Conjunto de semirrectas determinadas por tres puntos distintos y colineales.
C: Conjunto de segmentos determinados por tres puntos distintos y colineales.
D: Conjunto de rectas en un plano que pasan por un punto dado.
E: Conjunto de rectas paralelas a una recta dada, por un punto exterior a esta.
F: Conjunto de rectas perpendiculares a una recta dada, levantadas por un punto de esta y en un mismo plano.
G: Conjunto de números naturales pares.



4.1 Qué puede afirmarse sobre el número de elementos de cada conjunto?

4.2 Para cada una de las proposiciones siguientes, indicar si es verdadera o falsa.

a. c. e. g.
b. d. f. h.

5. Sea ; colocar en los espacios uno de los símbolos: , que indique una relación adecuada entre los términos dados.

5.1 0____ 5.5 ____A 5.9 0____ A
5.2 _____ 5.6 ____A 5.10 ____A
5.3 ____A _ 5.7 ____ 5.11 ____
5.4 ____ 5.8 ____ 5.12 ____

6. Sean: A: El conjunto de números de dos cifras, tales que la primera cifra es mayor que la segunda.
________B: El conjunto de números de dos cifras, tales que la primera cifra es menor que la segunda.

6.1 Representar los conjuntos A y B por comprensión.

6.2 Si ; representar el conjunto C por extensión.

6.3 Colocar en los espacios uno de los símbolos: , que indique una relación adecuada entre los términos dados.

a. 35 ____ A d. ____ B g. 12 ____ A 12 ____ B
b. 28____ B e. ____ A h. 22 ____ C 22 ____ B
c. ____ A f. 72 ____ A 72 ____ B i. ____ A ____ C

7. Dados los conjuntos siguientes:

A: Conjunto de números de cuatro cifras donde al menos dos de ellas son ceros .
B: Conjunto de números de cuatro cifras donde al menos una de ellas es cero .
C: Conjunto de números de cuatro cifras donde a lo sumo dos de ellas son ceros .
D: Conjunto de números de cuatro cifras donde dos son ceros y las otras dos son diferentes de cero .

Indicar todas las posibles relaciones de inclusión entre los conjuntos anotados.

8. Indicar cuáles de las siguientes implicaciones son verdaderas, justificando su respuesta.

8.1
8.2
8.3

9. Considérese un conjunto U referencial como el conjunto de todos los triángulos; si I designa el conjunto de los triángulos isósceles, E de los equiláteros, A de los equiángulos, R de los triángulos rectángulos; representar en un diagrama de Venn los conjuntos anteriores.
10. Dadas las relaciones: , , , representar todos los posibles diagramas de Venn que cumplan las relaciones establecidas.
11. Dado el siguiente diagrama de Venn, construya el diagrama de inclusión correspondiente.

12. Dados:

Demostrar que A = B .

Sugerencia: Pruebe independientemente la mutua inclusión y tenga en cuenta que el producto de dos números naturales consecutivos es un número impar y que la diferencia entre un número par y un número impar es un número impar.

5.9 Unión de conjuntos
Axioma 5.
Si A , B son conjuntos, existe un conjunto que los contiene. Dicho conjunto tiene como propiedad característica .
Definición. Conjunto unión de dos conjuntos.
Si A , B son conjuntos, al conjunto cuyos elementos verifican la propiedad , lo denominamos “ conjunto unión de A y B ” y lo notamos

Este conjunto lo notamos por comprensión así:

Consecuencias.
i)
ii)
Representación gráfica

Figura 6 _________________________Figura 7

Teorema 6. Propiedades de la Unión.
Sean: A , B , C , D , X conjuntos, entonces:

1. ; .
2. . Conmutativa.
3. . Asociativa.
4.
5.
6. Si y entonces .
7. Si y entonces .

Demostración de 1.
1. . Axioma
2. consecuencia definición de unión.
3. G.U. y definición de inclusión.

Demostración de 5.
Veamos que .

Supongamos: Hipótesis 1.

Esto es , pero es teorema, por tanto
Luego (1)

Veamos que . Teorema 6.1.
Conclusión: .

Ejercicio. Demostrar los numerales 2, 3, 4, 6 y 7.

5.10 Intersección de Conjuntos.
Definición.
Sean A , B conjuntos, el Axioma 3 nos permite definir un conjunto con la propiedad , dicho conjunto lo denominamos “ conjunto intersección de A y B ” y lo notamos .
Este conjunto lo notamos por comprensión así:

Consecuencias.
i)
ii)

Representación gráfica

Figura 8 __________________________Figura 9

Definición.
Si pero decimos que A y B son conjuntos disjuntos.

Teorema 7. Propiedades de la Intersección.
Sean: A , B , C , D , X conjuntos, entonces:

1. ,
2. .
3.
4.
5.
6. Si y entonces
7. Si y entonces

Demostración de 1.
Supongamos: Hipótesis

Consecuencia def. de intersección
. Simplificación.

Método directo
G.U. y definición de inclusión.

Demostración de 3.
Consecuencia def. de intersección

Consecuencia def. de intersección
Equivalencia Asociatividad en “
Consecuencia def. de intersección
Consecuencia def. de intersección

G.U. Axioma de Extensión

Ejercicio. Demostrar los numerales 2, 4, 5, 6 y 7.

Teorema 8. Leyes distributivas.
Sean: A , B , C conjuntos, entonces:

1.
2. .

Demostración de 1.
Consecuencia def. Inters. de cjtos.

Consecuencia def. de unión de conj.
Equivalencia Ley Distributiva
Consecuencia def. de intersección
Consecuencia def. de unión

G.U. Axioma de Extensión

Corolario.
Sean: A , B conjuntos, entonces:

1.
2. .

Ejercicio. Demostrar el numeral 2 del teorema 8 y el corolario.

Teorema 9. Leyes de D´Morgan.
Sean: A , B , X , conjuntos tales que entonces:

1.
2. .

Demostración de 2.
Consecuencia def. de complemento

Consecuencia definición de intersección
Equivalencia Ley Distributiva
Consecuencia definición de complemento
Consecuencia def. de unión